早于LeCun相似研究一年！千诀科技联合清华团队让神经网络「简单性」可测可优化
千诀科技联合清华大学团队，为神经网络提出了一把新的 “复杂度标尺”。
随着模型训练数据量的增大，我们有越来越多的 benchmark 可以用于评价一个模型答得准不准，却很难判断它究竟学到了可迁移的规律，还是用复杂方式 “记住” 了训练数据。团队提出的 “有效阶”（Effective Degree，ED），首次将这项研究路线中抽象的 “简单性偏置”，转化为一个能在真实规模模型上计算、比较并直接参与训练的指标。
这项研究不仅为理解神经网络为什么能够泛化提供了新工具，未来还有望用于筛选预训练模型、诊断微调过拟合，并改善视觉、语言、强化学习及世界模型面对新数据和新环境时的表现。
值得关注的是，这条研究路线与图灵奖得主 Yann LeCun 团队近期受到关注的世界模型理论形成了呼应，而千诀科技与清华团队对相似方法论视角的公开研究，比 LeCun 团队早约一年。
今年 5 月， Yann LeCun 与 David Klindt、Randall Balestriero 的论文《When Does LeJEPA Learn a World Model?》一经发布便获得广泛关注。论文从隐变量可辨识性的角度研究 LeJEPA 驱动的世界模型，并用 Hermite 多项式将高斯世界中的函数按非线性次数分解：非线性阶数越高，在 LeJEPA 的 alignment 目标下受到的惩罚越强，因此线性恢复真实隐变量成为最优解。
值得注意的是，早在一年前，清华大学自动化系陈峰教授和千诀科技的联合团队（第一作者章天任）就在 ICML 2025 论文《When Do Neural Networks Learn World Models?》中采用了相近的方法论视角：将 “学习世界模型” 形式化为对数据生成隐变量的恢复（辨识）问题，并通过正交函数基将复杂函数分解为不同阶次，研究神经网络在解空间的低阶偏置如何促使真实隐变量变得可辨识。
两项研究使用的数学工具并不完全相同：千诀 - 清华团队研究多任务学习设定下具有低阶偏好的神经网络模型，使用 Fourier-Walsh 变换分析离散布尔世界；LeCun 等人研究 LeJEPA 及带平稳动力学的高斯世界，使用 Hermite 多项式进行谱分解。但二者尝试回答的关键问题和技术路径又是相似的： 从隐变量可辨识性出发，用函数的阶次刻画 “简单性”，再借助训练目标对低阶解的偏好，解释模型何时能够恢复世界的真实结构。
如今，千诀 - 清华团队又把这条理论线索向现实模型推进了一步。
在 ICML 2026《Quantifying and Optimizing Simplicity via Polynomial Representations》工作中，研究团队不再只问 “低阶偏好为何能帮助模型学到世界结构”，而是进一步追问： 这种偏好能不能在真实的 ResNet、ViT、语言模型和强化学习策略网络上被直接测量，甚至被主动优化？
他们给出的答案是 “有效阶”（Effective Degree，ED）：沿真实数据点之间的插值路径观察高维神经网络，用正交多项式拟合模型输出，再根据不同阶次成分的权重计算函数复杂度。由此，“简单性偏置” 从团队上一项工作中的理论假设，变成了一个兼具通用性、可计算性和可微性的实用工具。
要理解 ED 解决了什么问题，还要回到深度学习中的一个经典谜题：为什么参数量远多于训练样本的神经网络，依然能在未见数据上表现良好？
一个广为接受的解释是 “简单性偏置”（simplicity bias）：面对许多都能拟合训练数据的函数，神经网络及其训练过程并非随机选择，而是更倾向于学到相对简单的那个。类似奥卡姆剃刀，越简单的规律，往往越有可能超越有限样本，迁移到新的数据分布。
但一个基础问题始终没有令人满意的答案：对于现代深度神经网络，我们究竟该如何定义并测量 “简单”？
参数范数、损失面的 sharpness、Jacobian 范数、线性区域数量、压缩长度…… 已有研究提出了不少候选指标，但往往难以同时做到三点：
通用性（generality）：不依赖某一种特定网络架构或任务；
可量化（quantifiable）：能在真实规模的已训练模型上稳定计算；
可优化（optimizable）：不仅能事后评价模型，还能通过梯度直接参与训练。
千诀 - 清华团队尝试给出一个同时满足上述要求的答案。
他们提出了一种多项式表征（polynomial representations）方法：
用数据点之间的插值路径 “切开” 高维神经网络，并以正交多项式近似网络沿路径的行为；
用多项式表征的有效阶（effective degree，ED）衡量神经函数的简单性；
将 ED 进一步变成可微的正则项，实现对神经函数复杂度的在线优化。
实验中，ED 不只是一个事后分析指标：在多个 benchmark 上，ED 都可以相当精确地预测出模型的实际 generalization gap；在对神经网络 grokking 现象的分析中，ED 也呈现出比参数范数、sharpness 等指标更稳定的信号。更进一步，由于整个度量过程可微，研究团队还将 ED 写入训练目标，在图像、文本、视觉 - 语言模型和强化学习任务中直接优化模型的函数复杂度，并由此带来泛化性能的提升。
论文标题：Quantifying and Optimizing Simplicity via Polynomial Representations
论文作者：章天任、李向欣、肖明昊、陈冠宇、陈峰
论文地址：https://arxiv.org/abs/2605.29823
代码地址：https://github.com/xinzaixinzai/Effective-Degree
“简单” 为什么难以测量？
衡量神经网络复杂度的一种常见思路是观察参数空间。例如，参数范数越小，或者局部损失面越平坦（也即 sharpness 越小），模型也许就越简单。
但参数并不等于函数。同一个函数可以由尺度和参数化方式截然不同的权重实现；即便网络输出完全不变，一次重参数化也可能显著改变参数范数或 sharpness。换言之，这些指标有时反映的是模型 “如何被写出来”，而不一定是模型实现的函数本身有多复杂。
另一种更直接的思路，是在函数空间里定义复杂度。线性函数通常比二次函数简单，二次函数又比高阶振荡函数简单，因此按多项式次数衡量非线性程度十分自然。
然而，现代神经网络往往是从高维输入到高维输出的黑盒函数。如果直接在原始空间拟合多元多项式，基函数数量会随维度和阶数发生组合爆炸，在真实模型上几乎不可计算。
研究团队由此采用了一个降维视角：不试图一次看清整个高维函数，而是沿数据分布附近的许多一维路径观察它。
沿数据路径，给高维神经网络做 “函数切片”
给定从数据分布中采样的两个样本 x₁、x₂，团队在二者之间构造插值路径：x (α) = αx₁ + (1-α) x₂，α ∈ [0,1]
对于神经网络 f，模型沿这条路径的输出就变成了一个关于单变量 α 的函数。一个原本高维且复杂的神经函数，由此转化为许多条一维的 “函数切片”。
接下来，团队使用 Chebyshev 正交多项式近似每条路径上的模型行为。如果模型输出沿路径接近线性变化，能量会集中在低阶系数上；如果输出频繁振荡，就需要更多高阶项才能描述。
一个自然的问题是：把高维函数限制到一维路径，会不会破坏原有的复杂度排序？论文给出的理论结果显示：对于多元多项式，只要插值方向来自具有密度的数据分布，随机路径几乎必然保留其代数阶；也即，对多条路径取平均后，不同阶多项式的复杂度顺序仍能被正确区分。
在实际计算中，研究团队还加入了三项设计：使用数据相关路径，将测量集中在真实数据分布附近；使用 Chebyshev 正交多项式基和余弦采样，缓解高阶拟合的数值不稳定；对于高维输出，可沿每条路径使用 PCA，只保留主要变化方向再进行拟合。
有效阶：不只看 “最高几阶”，还看每一阶有多重要
严格的代数阶只取决于最高阶非零系数。即使某个高阶项系数小到几乎可以忽略，函数仍会被判定为 “高阶”，这使它对数值噪声和真实神经网络中的微小扰动非常敏感。
为此，论文定义了多项式表征的有效阶 ED：它可以被理解为 “各阶成分按系数幅度加权后的平均复杂度”。低阶成分占主导时，ED 较小；高阶成分越多、幅度越大，ED 就越高。与只看最高非零阶不同，ED 关于拟合系数是连续且稳定的。最后，对从数据分布中采样的多条路径取平均，即可得到整个神经网络的复杂度估计。