科学网—Fundamental Research｜邓伟华、王恒等：反常与非遍历动力学的多尺度建模与模拟：从统计学到数学
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2026-5-26 10:53
| 系统分类: 科研笔记
本文系统综述了反常与非遍历动力学中的多尺度建模、分析与计算方法。具体而言，文章从连续时间随机游走和Langevin方程等微观模型出发，导出用于描述模型统计可观测量概率分布演化的偏微分方程（PDE），并深入探讨了统计分析、PDE理论分析、数值计算方法，以及深度学习在克服相应高维计算难题中的应用。通过端粒缩短等具体实例，文章表明该研究框架为理解物理学、生物学及金融学中的反常扩散现象提供了系统的数学分析工具与数值求解策略，对推动跨学科定量研究具有重要意义。
中文标题：反常与非遍历动力学的多尺度建模与模拟：从统计学到数学
英文原题：Multiscale modeling and simulation for anomalous and nonergodic dynamics: From statistics to mathematics
通讯作者：
邓伟华，兰州大学数学与统计学院
第一作者：
王恒，兰州大学数学与统计学院
关键词：反常与非遍历动力学；多尺度建模；分析与算法；深度学习方法
背景介绍
在日常生活中，我们习惯将“正常”与“反常”对立起来。然而在物理学、化学、生物学乃至金融学所描绘的图景中，“反常”往往才是常态。2004年，《Physical Review Letters》一篇论文在标题中提出“Anomalous is Normal”这一观点，指出反常扩散并非特例，而是自然界普遍存在的运动形式。从细胞内分子马达的运输，细胞膜上受体的受限运动，到染色体末端的端粒缩短——这些运动的“轨迹”，大多并不遵循我们熟悉的布朗运动规律。
那么，科学家是如何用数学语言去描述、量化乃至预测这些“不按常理出牌”的运动呢？近期，兰州大学数学与统计学院的邓伟华教授团队在《Fundamental Research》上发表综述，系统梳理了从微观统计模型到宏观偏微分方程的多尺度建模思路，及相应的分析与计算方法，为这一跨学科领域绘制了一幅清晰的研究地图（图1）。
图1：从工程实际应用问题出发，研究框架分为以下3部分：（1）建立用于刻画研究对象运动行为的微观动力学模型；（2）推导出微观模型的统计可观测量对应的宏观方程；（3）通过对微观模型和宏观方程开展统计分析、PDE分析以及计算方法的研究，验证模型正确性，并揭示研究对象背后的数学与物理本质。
微观“剧本”：刻画粒子的运动规则
要想借助数学工具去理解并定量分析复杂的运动，首先要为其创作一个“微观剧本”，即建立微观模型。该综述首先介绍了两种最主流的建模框架。
连续时间随机游走（CTRW）：该模型将一个粒子的运动拆解成“等待”与“跳跃”两个步骤的周期循环。粒子先在某地停留一段随机时间，再瞬时跳跃一段随机距离。通过定义等待时间和跳跃长度的概率分布，CTRW能够灵活模拟从分子马达的运输到金融市场价格波动等多种现象。
Langevin方程：可视为牛顿第二定律“F=ma”在微观随机世界中的延伸。它将粒子所受的外部势场、摩擦力以及来自周围分子的随机碰撞力等因素纳入模型。当摩擦力具有“记忆效应”或随机力不再是“白噪声”时，Langevin方程便能描绘更为丰富的反常扩散现象。
此外，文章还介绍了这两类建模方法的若干推广形式。例如，在原始模型中复合一个对时间的随机尺度变换，可刻画更加丰富的扩散现象；在每个运动时间步中设置随机重置事件，能够描述具有重置特性的运动现象；另外，还可将描述粒子尺寸的随机模型作为扩散系数，以刻画伴随化学反应的扩散行为。
宏观“剧本”：概率分布满足的偏微分方程
在建立微观模型之后，科学家更希望能预测粒子群体的统计行为，例如：粒子在空间中的分布如何？有多少粒子在区域内的滞留时间满足实验要求？粒子逃逸出特定区域的概率是多少？这些问题需要借助从“微观剧本”推导出的“宏观剧本”，即描述粒子宏观可观测量演化的偏微分方程。
这篇文章系统归纳了对应于不同微观模型的各类方程，包括Fokker-Planck方程（描述粒子位置的分布），Feynman-Kac方程（描述轨迹泛函的分布），以及刻画平均首次通过时间的方程等。这些方程犹如概率密度演化的“天气预报”，揭示了粒子云在时空中的扩散、聚集与输运规律。
从“不可解”到“可分析、可计算”：分析、算法与深度学习登场
建立模型、推导方程仅是第一步。想要将它们真正应用于解决实际工程问题，还需借助严谨的数学分析来验证模型的有效性，并设计高效的求解算法。上述方程通常包含时间分数阶导数、非局部空间算子，且结构通常极其复杂，甚至还涉及高维数。传统的数值方法（如有限差分、有限元法）在处理高维问题时，计算量都会呈指数级增长，遭遇所谓的“维数灾难”。
如何破局？该综述不仅系统总结了经典的PDE分析结果，以及针对时间/空间/带随机源项的分数阶方程的数值算法与收敛性分析；此外，还借助深度学习这一新兴计算工具，介绍了一类面向无穷维耦合方程的深度学习算法，为复杂方程的模拟提供了新的视角。
从端粒缩短到量子反常扩散：应用与展望
理论的价值最终需通过应用得以检验和彰显。该综述通过具体实例展示了上述数学模型在理解生物现象中的强大能力。展望未来，从蛋白质合成与运输的动力学建模，到多相流体相互作用的模拟，再到多粒子体系的建模，乃至具有量子效应的反常扩散研究——这些多尺度建模、分析与计算的方法将在物理、化学、生物、地球科学等更广阔的舞台上扮演关键角色。
这不仅仅是一篇综述，更是一次跨越统计学、物理学、计算科学与生物学的深度对话。它告诉我们，当世界以“反常”的规律运行时，数学正以其独特的严谨性，描绘出潜藏于表象之下的内在秩序。
主要作者简介
邓伟华 兰州大学数学与统计学院教授、博士生导师。任中国工业与应用数学会常务理事、中国数学会计算数学分会副理事长，并担任CSIAM Transactions on Applied Mathematics、Numerical Mathematics: Theory, Methods and Applications、Advances in Applied Mathematics and Mechanics、Computer and Mathematics with Applications等期刊编委。研究方向为反常扩散、非局部偏微分方程数值解及随机模型，聚焦于细胞迁移、污染物传播等领域的非遍历动力学建模与分析。
王 恒 兰州大学数学与统计学院在读博士。他的研究兴趣包括多尺度建模，物理模型的AI算法，算子学习等方向。在J. Comput. Phys.，Chaos等高水平期刊上发表多篇论文。
引用本文
Heng Wang, Xuhao Li, Lijing Zhao, et al. Multiscale modeling and simulation for anomalous and nonergodic dynamics: From statistics to mathematics. Fundamental Research, 6(2) (2026) 659-671.
原文链接（复制到浏览器中查看）：https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2667325825000123
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