科学网—在量子计算机上生成自旋态
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2026-10-13 10:47
| 个人分类: 量子计算 | 系统分类: 科研笔记
在量子计算机上生成自旋态
左 芬 撰文
陶文萱 校对/绘图
一、引 言
Feynman 于1982年提出，大规模的量子体系用经典计算机是难以模拟的，而应该用基于量子力学原理的量子计算机来模拟。然而，如今在量子计算的教科书里，你却几乎很难看到针对内禀量子问题的典型算法。你会学到Deutch, Deutch-Josza, Bernstein-Vazirani, Simon以及著名的Shor算法等等。前四种在某种程度上都可以看做Shor算法的某种简化版本。它们全都是基于某种量子Fourier变换的，因而都可以归属到信息科学里。那么，有没有一个通俗易懂的量子问题，让我们可以直观地感受到量子计算的优势呢？我们这里介绍的自旋态生成问题，正好可以拿来作为示例。这是一个物理和化学中无处不在的问题，并且可以看做常规量子Fourier变换的细化：n比特量子Fourier 变换处理的是整个2 n 维空间，而这里考虑的是其中 态的数目也就是Hamming权重固定的子空间。前人在这个问题的一两个特例上有一些研究成果，而我们最近把所有情况都解决了。我们会选其中一种典范的情况来重点介绍，对更复杂的情况仅简要概括。我们相信，一个具体的物理实例可以更好地帮助物理同行们快速地进入量子计算这一领域。
我们分以下几部分来逐一展开：首先，介绍量子电路模型的基本知识；其次，引入自旋态生成这一问题，并介绍前人在一种特例上的已有算法；接着说明我们是如何推广到任意情况的，其中包括分支路径和自旋树两种自旋耦合模式；最后总结这一工作给我们带来的启发。读者可以根据自己的知识背景跳到适当的章节开始读。
二、量子电路基础
为了介绍后续的算法，我们需要知道一点量子计算的细节。目前通用量子计算的具体模型有两种较为常用：从物理技术发展而来的测量模型，和从计算机技术发展而来的量子电路模型。因为后者更加普及，发展也更为成熟，人们目前普遍基于后者开发算法。因此，我们下面简单介绍一下量子电路，主要借用的是经典书籍《量子计算与量子信息》中的相关内容[1]。
大家在大学期间可能都学过“模拟电路与数字电路”这门课。量子电路就是仿照其中的数字（逻辑）电路发展而来的。具体来说，逻辑电路是用逻辑门组装起来的，比如常见的 与、或、非、异或 等。我们并不需要直接实现所有门，只需要实现其中的一个通用门集，再用通用门去生成其它的门就可以了。比如， 与、非 就组成一个通用门集。或者更简单的，把它们组合成一个 与非 门，就实现通用性了。
提升到量子层面，我们会遇到两个显著不同的地方。首先，经典比特是0/1取值的，而量子比特的取值是整个Bloch球面，如下图：
图1. 量子比特的Bloch球面表示
因此，我们的单比特门不再只有非门一个，而是有不可数的无穷多个。这样一来，我们是没办法找到有限的通用门集的。我们退而求其次，寻找近似通用门集，也就是在固定初态上用有限个门反复作用生成的态去逼近球面上的任意态。首先我们考虑三个坐标轴上的六个态，其中z轴上的两个态给出经典的0和1。我们发现，只需要两个门，就可以从一个态出发，生成其它五个态。其一，Hadamard门，简称H门，其作用是交换z轴和x轴。其二，相位门，记作S，其作用是绕z轴逆时针转90度，即将x轴转到y轴。不难验证，H与S组合起来，就可以从6个态中任意一个态出发抵达其它态。例如，我们想交换0态和1态，即实现经典非门。通过作用H门交换x轴和z轴，我们可以将S门变成S x 门，即绕x轴逆时针转动90度。记相继作用两次S x 门为X门，其效果是绕x轴转动180度，即实现了经典非门。X门的矩阵描述其实就是Pauli矩阵，也记作X。
可惜的是，无论怎么反复作用H和S门，我们也只会在这6个态内部反复循环，无法跳出。所以我们还需要更多的门让我们逃离坐标轴。严格推导表明，只要有第三个门让我们逃离出坐标轴，就可以让我们近似到达球面任意点了。通常我们把这第三个门选为绕z轴逆时针转动45度，并记作T门。这样一来，T的平方就是S。所以，单比特的近似门集只需要H和T就够了。但由于S门很重要，我们也把S门明显列入其中。为什么仅仅加入一个T门就足够了呢？我们可以简单描述一下。我们可以用H门来交换z轴和x轴，所以有了T门也就有了T x 门，也就是绕x轴逆时针转动45度。T门与T x 门的乘积是绕一个奇怪的轴n转动无理数度数的门R n 。这样我们就可以近似以n为轴的大圆上的任意点了。接着仍然使用H门来交换x轴和z轴，我们可以从R n 出发得到另一个转动门R m 。R m 的转轴m与n在xz平面两侧成镜像，而其转角度数也是无理数。于是R m 让我们可以近似以m为轴的又一个大圆上的任意点。根据Euler角分解公式，我们把R n 和R m 联合起来就可以近似整个球面上的任意点了。可以进一步论证，这一近似是可以高效完成的。论证过程这里略去。
在后面的算法中，我们会频繁地使用一个特定的门R y (2θ)，即绕y轴的2θ角度转动。该门在基矢态上的作用效果如下：
注意，由于Pauli Y矩阵包含虚数单位i，所以这里的转动振幅全都是实数。这也是我们常常选择y轴转动门的原因。
接下来我们还需要两比特门。这里量子计算的第二个差异就出现了。在没有测量之前，量子过程总是幺正的，或者直白地说就是可逆的。经典逻辑门中的与、或、异或等，都是二到一的，即两个输入比特，一个输出比特。因此，它们显然都不是可逆的。经典电路可以提升为可逆架构，即仅使用可逆门。事实上，一个特定的可逆门就可以通用了，这就是所谓Toffoli门。这个门是三进三出的，其效果是，将前两个输入值的逻辑与结果模2加到第三个输入比特上作为第三个输出，而前两个输入比特维持不变。不难验证，Toffoli门可以实现与非门的功能，因此是通用的。也可以用另一种方式来理解这个门的效果，即：将前两个比特作为控制位，当它们同时为1时，翻转第三个比特。因此，也可以将其记为CCNOT，或者CCX。
图2. Toffoli门，即CCX门
我们可以把Toffoli/CCX加入到前面的单比特门集里，合起来得到一组任意量子比特的近似通用门集。但是Toffoli门还是有点复杂，我们可以选择更简单的两比特门。通常选择经典的异或门，然后把它可逆化。具体来说，我们将异或的结果作为第二个输出值，而保留第一个输入比特的值。这样，第一个比特也就成了控制位，当其为1时，会翻转第二个比特。因此，异或门在可逆化之后被称为CNOT门，或者CX门。
图3. CX门
通过不断使用CX门，我们就可以把任意多的量子比特关联起来。于是，我们最终得到的近似通用门集可以选为{H,S,T,CX}。所有其它的门都可以通过反复作用它们来近似得到，例如Toffoli/CCX，交换门SWAP, CR y (2θ), CCR y (2θ)等。我们来重点看看SWAP门的生成方式。具体来说，我们用三个交错的CX门就可以得到SWAP门，如下图所示：
图4. 交换门的实现。
我们可以用4个基矢态00,01,10,11来验证其效果。当输入值相同时，上述门不起作用；当它们相异时，会交换其取值。而对于一般的叠加态，我们再利用量子叠加原理就知道其输出了。在后续算法中我们要频繁使用的是SWAP门的一个变种，即将中间的CX替换为 。这里不使用 而使用 的原因，是想得到实数振幅。不难验证，当两个输入值相异时，会对其进行部分交换，即输出交换前后两种结果的某种叠加态，叠加振幅由 值决定。我们不妨把SWAP门的这一变种命名为 【 注：更专业的名称是Givens转动，因此这里用其首字母命名。 】。 门 如下图所示：
图5. Givens转动门 。
我们约定在书写时把下面的比特排在后面。那么，利用前面y轴转动门的功能，我们发现 的非平庸作用是：
在物理和化学领域，人们往往把 门看作是一种单粒子激发操作。它会以一定的概率幅把一个粒子从当前的“实轨道”激发到另一个“空轨道”上去。这种直观的图像会有助于我们理解后面的算法。我们还会进一步用到受控的 门，这里不再详述。
三、自旋态
现在我们来引入想要解决的问题，所谓自旋态的生成。在量子力学框架下，轨道角动量是量子化的，只能取非负整数值，因此我们会有s,p,d,f等原子轨道。1922年，Stern与Gerlach将银原子束穿过非均匀磁场，发现原子束偏转为两束。该实验装置如下图所示：
图6. Stern-Gerlach实验，摘自QuantaMagazine。
这一实验结果（以及诸多更早的原子光谱学现象）启发Uhlenbeck和Goudsmit随后提出了电子自旋即内秉角动量的概念。电子的自旋为1/2，有向上和向下两种投影态，而这导致银原子分为两束。也正因为如此，电子的自旋态天然构成一个量子比特。一种主流量子硬件路线，半导体量子点，就是用囚禁电子的自旋态来作为量子比特，如下图所示：
图7. 自旋量子比特。
后面我们会频繁地利用自旋投影与量子比特态之间的这一对应关系。
引入电子自旋后，角动量就不仅仅可以取非负整数值，还可以取半奇数值了。而角动量的耦合与经典矢量耦合一样，满足平行四边形法则或者说三角形法则：
但二者也有两处显著的不同。首先，耦合得到的角动量的取值也是量子化的，满足所谓整数法则： 。将这两条规则结合起来，末态角动量的可能取值为： 。其次，给定角动量 ，其在给定轴上的投影亦即磁量子数 仍可以取多重值，即 。亦即，共有 种不同的投影态。在角动量耦合时，所有可能的投影组合都应该考虑在内。因此，我们会有如下的耦合公式：
其中 是所谓Clebsch-Gordan（CG）系数。这里会出现很多投影项，只要它们满足初末态磁量子数守恒就可以了。如果我们依次进行多次角动量耦合，可能出现的项数就会急剧增长。哪怕我们把初始的角动量都取为最小值1/2，这种增长依然存在。例如， 假定有 个电子，并且末态有 个自旋朝下（亦即磁量子数为 ），那么耦合项的数目最多可以增长到 。由于磁量子数守恒，这里的增长不会是指数式的，而是组合数的形式。但即便如此，除了极个别的 值，这样的增长速度也是非常快的，很难用经典计算机来有效完成。
那么，我们能不能用量子计算机来高效实现多个电子自旋的耦合呢？按照Feynman的提议，答案似乎应该是不容置疑的。对于这样一种在自然界中无处不在的量子过程，要是量子计算机竟然无法高效处理，那将会是一种灾难性的后果。然而，这么多年以来，人们竟然一直没有设计出实现这一过程的具体电路。到目前为止，人们已经用明确电路实现的自旋态仅有两种：最大自旋态即Dicke态[2,3]，以及由两个相同Dicke态反向配对得到的0自旋态，即Lieb-Mattis态 [4]。二者的最简单情形分别是两个电子组成的自旋三重态和自旋单态。当然，我们还可以把这两种自旋态简单拼起来，也就是直积起来，得到更多的态。但即便如此，我们能实现的自旋态数目仍然是非常有限的。人们不禁怀疑，我们真的能在量子计算机上有效生成任意自旋态吗？例如，IBM的化学组就在2022年的一篇论文中论证 [5]，制备任意自旋态一般而言需要指数多个门，从而无法高效实现。这一观点甚至在一定范围内形成了共识。
这个结论当然是难以令人信服的。如前所述，如果该结论成立，量子计算机的应用范围将遭受极大幅度的缩减。经过仔细的推敲与反复的尝试，我们最近终于成功地设计出任意自旋态的高效制备电路，从而推翻了这一错误结论。下面我们先介绍前人针对Dicke态设计的量子电路，然后说明我们是如何将其推广到任意自旋态上的 [6]。
四、Dicke态制备电路
如果 个电子的自旋全都是同向耦合的，那么总自旋取最大值 。进而如果其中 个电子的自旋投影向下，那么总自旋投影亦即磁量子数为 。我们把这样的态称为Dicke态，并记作 。当 或 时，Dicke态就是平庸的直积态。而对于任何其它 值， 对于任何划分都是纠缠的。由于 个电子的地位完全等同，投影向下的 个电子可以任意选取，且每种取法的概率幅都一样。因此， 表现为 种基矢态的等振幅叠加。例如，当 时，我们有自旋为1的三重态：
当 时，我们有自旋为3/2的四重态：
由于Dicke态包含的分量态的数目为 ，而除了极少量的特殊 值外， 的增长速度都是极快的。因此，在经典框架下仅仅对Dicke态进行描述都是非常笨拙的，更不用说严格刻画其形成过程了。
在量子计算框架下，美国洛斯阿拉莫斯国家实验室信息部门的Bärtschi和Eidenbenz两位计算机科学家于2019年设计了一种巧妙的Dicke态制备算法[2]。下面我们将其简称为BE算法。BE算法的思路大体上是这样的。首先，它是一种递归式的算法，也就是逐步减少电子数目，每次处理一个电子。其次，在每个电子的处理过程中，整个态中1的数目也就是 的值可以是任意的。这两种处理策略事实上是彼此依赖的，因为在递归的过程中，1态的数目是会随之变化的。第一种策略反映了生成Dicke态的一种量子过程，而第二种策略则巧妙地对过程中的不同自旋投影项进行了量子并行处理。通过这种量子并行的过程，BE算法就在不同的初态下用同一个电路高效制备出了所有 的Dicke态 。
下面我们以 的Dicke态为例来解读这一算法的详细步骤。在两比特的情形下， 和 都是平庸的，我们只需要处理 即可。我们选初态为 ，然后利用前面的 门将0和1态进行部分交换，亦即部分地激发粒子。注意到保留和激发的振幅都是 ，我们取转角在第一象限，且取值为 。于是我们得到以下电路：【注：这里我们用角度 来指代 门，下同。】
图8. 2比特Dicke态的制备电路。
不难发现 和 初态完全不触发该电路。于是，分别取初态为 、 和 ，就可一次性制备出自旋1的三重态。
可能上面的例子过于简单，我们接着考虑三个比特。由于 和 是平庸的，我们只需要处理 和 两种情形就可以了，当然仍然是同时处理。我们把初态分别取为 和 。对比上述的 和 ，我们需要把这里的1态适当地交换或者说激发到其它0态位置上。我们来递归式地进行激发，即先激发末位上的1。如果初态是 ，我们只需要把一定分量的1激发到中间位即可。我们仍然采用前面提到的 门，并且取 在第一象限，且取值为 。因为这样一来初态中保留下来的份额正好是末态中所需的。如果初态是 ，我们需要对中间位进行判定，当其为1时将末位上的1适当激发到首位上。这可以通过 来实现，其中下标表示比特序号。由于相应末态中末位为1有两种可能，所以角度应该取为 。此外，我们还需要保证这两种操作互不干扰，即前一步的输出不触发后一步。稍加分析可以发现，只需要先执行第一步的 ，再执行第二步的 。这样我们末位就激发好了。剩下的部分会是两比特态的相应激发，可以沿用前面的两比特电路。这里巧妙地利用了递归的逻辑。把两部分拼起来，我们得到完整的电路如下图：
图9. 3比特Dicke态的制备电路。
不难发现 和 完全不触发该电路。因此，当我们输入 ， ， 和 时，就分别得到了 ， ， 和 。用类似的推导思路，我们很容易构造出4比特Dicke态的制备电路：
图10. 4 比特Dicke态的制备电路。
读者现在估计已经看出一般的电路规律了。每当比特数增加1时，我们只需要在前面搭设一个高一级的阶梯电路即可。在阶梯内部，每级台阶一般都只涉及三个比特，只有在第一级时退化为两个比特。相应转角的余弦值也呈现鲜明的规律。这样一来，我们事实上已经可以手动写出任意比特数时的整个电路。
如果总比特数是 ，那么这些阶梯的台阶数依次是 。所以表面上看起来，我们的电路总深度也就是运行时间会是正比于 的。这其实也已经很不错了，但我们还可以做得更好。我们会发现，每一级台阶最多只涉及顶部和底部的三个比特，中间的区域完全是空着的。此外，每一个阶梯都是从低往高进行排列的。因此我们轻易地将后一个阶梯的前端低矮部分插入前一个阶梯的后端中空区域，将它们像套娃一样套起来，从而让电路更加紧凑。严格论证表明，通过这样的紧密排布，电路可以简化到线性深度，即运行时间会是正比于 的。这样一来，我们就在正比于比特数 的时间内生成了包含 个分量的Dicke态 。
我们想进一步指出，以上电路其实可以看成量子Fourier变换的一种细化。我们知道，量子Fourier变换可以在正比于比特数 的电路深度下生成包含 个分量的Fourier对偶态。二项式定理告诉我们，所有 个基矢态中保持Hamming权重为 的态正好有 个。因此，以上电路在某种意义上是量子Fourier变换的保Hamming权重版本。这一点在电路层面也有直观的反映。例如，3比特的量子Fourier变换电路如下图所示：
图11. 三比特的量子Fourier变换电路。【注：这里比特排序与本文其余部分相反，下面的比特排位在前。这么做是为了让其与图9、图10有明显的相似结构。 】
如前所述，这里的 门与 门分别对应于绕z轴的 和 角度转动。不难发现，前面的Dicke态制备电路确实与这里的Fourier变换电路存在着很强的相似性：二者都是分模块的，且每个模块都成阶梯状；同时，前者的Givens转动跟后者的z轴转动也是可以比拟的。
五、分支图
Dicke 态也许算得上是最简单的 比特自旋态了。那么，怎么制备一般的自旋态呢？这个问题其实不准确，因为我们还没说怎么准确地刻画一个任意的自旋态。前面的Dicke态是很特殊的，只需要给定比特数 与Hamming权重 就完全确定了。或者等价地，给定总自旋 与磁量子数 就把Dicke态确定下来了。所有其它的自旋态都无法仅用总自旋 与磁量子数 来指定（2比特的0自旋态除外）。我们需要更多的数据来对其进行刻画。一种直观且实用的方式就是追踪该自旋态的完整形成过程。前面提到，自旋本身取非负整数或者半奇数值，且自旋耦合满足三角形规则及整数规则。这使得每次合成出的总自旋可以取多重值： 。我们考虑一种特殊的情形，即每次都耦合进来一个最小自旋： 。那么末态自旋只有两种取值： 。于是我们只需要标明每个耦合步骤中自旋是增大还是减少，就可以完全确定自旋末态了。
基于这一思路，人们发明了所谓分支图，如下图所示：
图12. 分支图
这里的横坐标是比特数或者说电子数，纵坐标是总自旋值。对于给定的 与 ，我们可能会有多个不同的自旋态，其数目在其对应点 处用数字标出，不妨记作 。我们把 称作自旋态的简并度。每一个特定的自旋态由原点到点 的一条路径刻画，而 其实就是这些路径的计数。最简单的路径就是一直上升的那条。这条特殊的路径构成分支图的上边界，并且生成的正好是所有Dicke态。但我们不能让路径一直下降，因为自旋不能取负值。因此横轴构成了分支图的下边界。严格数学推导表明，由分支路径刻画的自旋态的所有投影态张成整个Hilbert空间。也就是说，它们的总和是 。一个简单的例子是，2比特的自旋三重态和自旋单态的总和是 。
于是，我们的问题就变成了，给定到点 处一条分支路径，如何制备出其所有的自旋投影态？Dicke态的分支路径是一直上升的，而一般的分支路径则既可能上升也可能下降。所以表面上看起来，我们应该不太容易直接把前面的电路从特定的上升路径推广到一般路径。然而，在强有力的角动量耦合框架下，上升分支和下降分支其实是完全同等处理的。这就给我们带来了一种希望，或许我们可以从Dicke态的制备电路出发，根据角动量耦合理论稍作调整，就可以得到一般分支路径的制备电路。
六、自旋态制备电路
为了避免冗繁的数学公式，我们不对整个算法框架进行推导，而是直接通过具体的例子来展示。我们仍然从最简单的情况出发，先考虑两个比特。从分支图上可以看出，此时除了自旋1的Dicke态也就是自旋三重态之外，还有自旋0的态，这就是我们所谓自旋单态：
不难看出，单态跟三重态中的0投影态 结构完全一样，只是在中间的符号上有差别。因此，我们可以考虑借用两比特Dicke态的制备电路，并适当修改其中的转角。为了让激发分量的振幅为 ，我们应该把转角取为 。相应的电路如下图：
图13. 自旋单态的制备电路。
两比特的情形可能过于特殊，还不能让读者信服。下面我们接着考虑三比特态。此时除了自旋3/2的Dicke态外，我们还有自旋1/2的态，并且其简并度为2。从分支图上可以看出，有两条路径从原点到达点（3,1/2）。我们用路径上的自旋值序列来进行标记。第一条路径是[1/2,1,1/2]，第二条路径则是[1/2,0,1/2]。现在我们希望借用前面三比特的Dicke态电路来生成这两条路径对应的自旋态。我们仍然用归纳的方式，所以只需要明确最后一个比特耦合时保留和激发的振幅就可以了。这可以通过查阅相应的Clebsch-Gordan系数表格来获取。下图展示了小自旋耦合时的Clebsch-Gordan系数表格片段：
图14. Clebsch-Gordan系数表。 表示 与 的耦合，末态总自旋及初末态磁量子数如右上所示。表中的系数值省去了根号，例如1/2应为 ，-1/2应为 ，等等。
我们先考虑第一条路径，即[1/2,1,1/2]，对应的最后一次耦合是 。末态自旋为1/2，自旋投影可为1/2或者-1/2。先考虑 ，相应的初态仍然选为 。 我们需要从表中查出末位比特停留在 态（即自旋投影值为-1/2）与激发到 态（自旋投影值为1/2）的相应振幅。稍微分析一下，可以查出两个振幅分别为 和 （见表格中高亮区域）。因此，按照前面的Givens转动公式，激发时应选择角度 。接着考虑 ，相应的初态相应地选为 。接着从表中查出停留和激发的振幅分别为 和 （亦见表格中高亮区域）。于是激发角度应选为 。把这两个新的角度分别代替图9中的相应角度，并保留两比特电路部分（对应自旋三重态），我们就得到了路径[1/2,1,1/2]自旋态的制备电路：
图15. 路径[1/2,1,1/2]自旋态的制备电路。
我们接着考虑第二条路径[1/2,0,1/2]，相应的末次耦合是 。这其实是一种退化的耦合，相应的态是直积态。不过我们仍然把它纳入我们的一般性框架中。末态自旋仍然是1/2，自旋投影可为1/2或者-1/2。先考虑 ，相应的初态应选为 。但由于0自旋态的投影是0，末位比特的投影必须恒为1/2，亦即处在 态。也就是说，我们必须把末位比特完全激发上去，因此激发角应取为 。接着考虑 ，相应的初态仍然应选为 。此时末位比特的投影必须是 ，亦即恒处在 态。因此完全没有激发的分量，相应的角度应取为0。将图15中的前两个激发角分别替换为 和0，并把两比特的Dicke态电路替换为图13给出的自旋单态电路，我们就得到路径[1/2,0,1/2]自旋态的制备电路：
图16. 路径 [1/2,0,1/2] 自旋态的制备电路。
图中0激发角的Givens转动实际上是恒等门，可以省略。这里保留下来以体现整体结构的一致。以上两个图分别各得到两个自旋投影态，再加上自旋3/2的4个Dicke态，一共是 个态。因此，我们就把3比特的所有自旋态都得到了。
跟Dicke态类似，这一算法思路同样可以递归地进行下去。也就是说，对于任意 比特的一条分支路径，我们都可以通过逐比特耦合的方式，模块化地构建出相应的制备电路，生成其所有自旋投影态。不仅如此，每条分支路径的制备电路仍然可以压缩至线性深度。可以从数学上严格地证明，以这种方式生成的自旋态确实是正确的。
七、从分支路径到自旋树
读者读到这里，可能会有一些疑问。从我们的叙述来看，从Dicke态制备推广到任意自旋态的制备，看上去似乎是一气呵成的，并没有太大的难度。而我们前面提到，至少在量子计算化学领域，人们甚至已经对任意自旋态制备无法有效实现这一结论达成初步共识。这里的根本原因在于，人们一直有一个误解，认为BE算法的整个过程都依赖于Dicke态的极大对称性。或者更直白地说，人们一直认为，BE算法之所以能高效制备出Dicke态，是因为这个态的所有振幅都是完全一样的；随着目标态的振幅开始多样化，相应的算法也会逐渐复杂直至完全无法实现。然而，对比我们推广后的算法与原始BE算法，我们可以看出这一观点其实是不对的。整个BE算法中真正依赖于振幅恒同性的，仅仅只有激发角度的计算这一环。其余的部分，也就是比特逐个耦合的方式，其实完全是普适的。正因如此，在推广的时候，我们只需要解决一般激发角度的计算问题就可以了，而这一问题可以利用角动量耦合这一强有力的技术来处理。
在BE算法的评估及推广上出现这两种截然不同的观点与结果是有其背后的深刻原因的。前者关注量子态本身，而后者关注的是量子态的产生过程。Dicke态和一般自旋态的振幅可能相差巨大，但它们的生成过程是相仿的。正因如此，它们可以统一在分支图这一框架下。它们的差别仅仅在于耦合参数，而耦合参数之间的差异可以通过调节电路中的角度来体现。一旦理解了这一点，读者就会明白为何我们从Dicke态的制备电路出发，自然而然地就得到了任意自旋态的制备电路。这一成功也启发我们，在制备特定量子态时，如果能发现或者设计一种自然的量子过程去生成它，再转换成量子电路就会容易很多。而这恰好与Feynman提出量子计算的初衷是吻合的。
我们用具体的例子来说明这一理念。前面提到，分支路径实际上对应的是一种特殊的耦合方式，即把1/2自旋逐个地耦合进来。我们可以把分支路径补全成一棵二叉树，来明显地看出这一点：
图17. 从分支路径到自旋树。
可以看出，分支路径对应着一种非常特殊的二叉树：只有一条主干，并且所有节点处都有新的叶子自旋加入。在真实的多体物理和化学体系中，我们当然不会局限于这种特定的耦合方式，而是会基于任意的二叉树对自旋进行耦合。下图展示了一棵任意的二叉树：
图18. 一棵任意的自旋树
既然真实体系中会按照任意的自旋树耦合出各种自旋态，那么我们能不能设计相应的量子电路将其生成出来呢？按照Feynman的提议以及我们前面的讨论，答案应该是肯定的。我们在近期的工作中也设计出了相应的量子电路[6]。相比于前面的电路，我们需要做进一步的推广，把单比特的激发推广到多比特的激发。虽然最终的电路会稍微复杂一些，但基本的算法逻辑仍然是一脉相承的，非常自然。
八、总结与展望
我们在本文中为Feynman的量子计算设想提供了物理学中的一个具体实例：在量子计算机上生成任意的自旋态。前人往往把自旋态本身当成一个对象去刻画，进而认为难以在量子电路上有效制备出来。而我们则利用其产生过程对其进行表征，并自然地得出了相应的电路。
从计算复杂性的角度来看，前者涉及以组合数方式增长的分量态，因而难以有效刻画；而后者对每一步涉及的多个分量态都是并行处理的，因而可以高效完成。这恰恰体现了经典计算与量子计算之间的本质区别。
从底层数学的角度来看，这两种思路背后反映了两种截然不同的数学范式：面向对象的集合论与面向过程的范畴论。John Baez 和Mike Stay在一篇著名的文章[7]中详细阐述了这两种视角的不同。他们指出，量子物理学与拓扑、逻辑以及计算这三个学科一样，天然地适合用具有相似性质的同一类范畴来刻画。基于这一框架，我们把量子物理中的自旋态产生过程翻译成用以计算的量子电路其实是顺理成章的。我们相信，这种面向过程的范畴论视角可以帮助我们更好地理解量子计算，并开发出更丰富、更深刻的量子算法来。让我们拭目以待。
九、参考文献
[1] Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, 10 th Anniversary Edition, Cambridge University Press, 2010.
[2] Andreas Bärtschi and Stephan Eidenbenz. Deterministic preparation of dicke states. In International Symposium on Fundamentals of Computation Theory, pages 126 –139. Springer, 2019.
[3] Andreas Bärtschi and Stephan Eidenbenz. Short-depth circuits for dicke state preparation. IEEE International Conference on Quantum Computing & Engineering (QCE), 2022, pp. 87–96, 2022.
[4] Daniel Marti-Dafcik, Hugh GA Burton, and David P Tew. Spin coupling is all you need: Encoding strong electron correlation in molecules on quantum computers. Physical Review Research, 7(1):013191, 2025.
[5] Alessandro Carbone, Davide Emilio Galli, Mario Motta, and Barbara Jones. Quantum circuits for the preparation of spin eigenfunctions on quantum computers. Symmetry, 14(3):624, 2022.
[6] Wenxuan Tao, Jianan Wang, Fen Zuo. Deterministic Preparation of Arbitrary Spin Eigenfunctions. arXiv:2608.22892 [quant-ph].
[7] Baez, J., Stay, M. (2010). Physics, Topology, Logic and Computation: A Rosetta Stone. In: Coecke, B. (eds) New Structures for Physics. Lecture Notes in Physics, vol 813. Springer, Berlin, Heidelberg.
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