科学网—全新强力“二维码”解开数学中的棘手纽结
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2026-6-6 10:41
| 个人分类: 纽结 | 系统分类: 科研笔记
全新强力“二维码”解开数学中的棘手纽结
借用最新发现的一种数学工具，研究者有望对复杂纽结的结构取得前所未有的认识。
Erica Klarreich 撰文
左 芬 翻译
【原文2026年4月22日刊载于QuantaMagazine，链接见文末。】
数学家最近发明了一种区分纽结的全新方法：赋予每个纽结一种着色“二维码”。
从 电脑缆线的缠结到编织筐被猫弄成的一团乱麻，纽结在日常生活中无处不在。它们也遍及科学，出现在DNA圈、聚合物缠绕的链，以及漩涡水流中。而在纯数学中，纽结是拓扑学中许多核心问题的关键。
然而纽结理论家仍然在应对最基本的问题：如何区分两个纽结？
对于两个复杂的纽结，光是打量一番，是很难判定它们结构是否相同的。哪怕它们看上去完全不同，通过来回移动一些结段，你还是可能把一个变成另一个。（对于数学家来说，纽结的两个端点总是紧扣着的，因此这类动作不会解开它。）
在过去的一个世纪里，纽结论家们已经开发了一套清楚的、尽管还不那么完美的工具来区分纽结。这些工具被称为纽结不变量，其中每一个衡量了纽结的某个特性——可能是结段缠绕形成的模式，或者环绕它的空间的拓扑。如果你使用一个不变量来度量两个纽结并且得到两个不同的结果，你就证明了它们不同。可是倒过来并不总是对的：如果不变量给你相同的结果，纽结可能是一样的，也可能不同。
有些不变量在区分纽结上做得比其它的更好，可是这里会存在利益交换：这些更强的不变量往往更难计算。“大多数不变量要么非常强但无法计算，要么容易计算但非常弱。”悉尼大学的Daniel Tubbenhauer称。
当你面对的是结段彼此交叉15到20次的纽结时，许多不变量都开始衰退了——要么它们在区分很多纽结上都会失效，要么它们变得难以计算。对于大多数纽结不变量，多伦多大学Dror Bar-Natan说道，“如果你说的是‘300个交叉’，并且你说的是‘计算’，那么你是在科幻世界里。”
Peter Guthrie Tait 1885 年的一篇文章中的一页，他在其中区分了带有10个交叉的不同纽结。
不过现在，Bar-Natan和荷兰格罗宁根大学的Roland van der Veen提出了一种纽结不变量，可以让数学家不必在两种弊端中做抉择了：它既强大，又易于计算。“它好像正好在最佳位置上，所以发生了一些激动人心的事情，”Tubbenhauer说道。他没有参与到这一工作中。
强度与速度的结合意味着数学家可以探测此前遥不可及的纽结。可以轻松计算拥有多达300个交叉的纽结的新不变量，而Bar-Natan和van der Veen甚至计算了交叉数超过600的纽结的这一不变量的某些特性。
“在某种意义上我们其实是即兴发挥的。”
—— Roland van der Veen, 格罗宁根大学
“这一突破堪比一种新型望远镜：它不仅可以在常见范围内提供高得多的分辨率，还可以把我们的可见范围扩大10倍，”耶路撒冷希伯来大学的Gil Kalai称。
对于每个纽结，这一不变量会输出一个着色“二维码”，就像雪片一样对称且精细。“这一结果出奇优美，且变幻无穷，”不列颠哥伦比亚大学的Liam Watson说道，“它看上去简直像是来自另一个世界。”
数学家们希望这些精妙的图形会为他们揭示单个纽结更深刻的拓扑特征。“你立刻会开始好奇，”Watson说道，“是给定纽结的何种信息生成了这一特定模式的？”
纽结归类
考虑这样一个游戏，你画出一个纽结，然后给每个结段着上红、黄或蓝色。规则是，你必须使用每种颜色至少一次，并且在每个交叉处，要么三种颜色都出现，要么只有一种出现。对于某些纽结而言这是可行的，但其它的则不行——例如，你可以给三叶草结这样着色，但8字结则不行。
对于给定的纽结，无论你如何进一步缠绕它，如果它一开始“可三着色”，那么它会一直如此。同样，无法三着色的纽结也会持续如此。这使得三着色成为一种纽结不变量。
计算纽结是否可以三着色并不太难，但这一不变量在区分纽结上并不是很好。它只把纽结分成两个类别：可三着色和不可三着色。如果你想要区分的纽结恰好处在相同的类别里，你就不那么幸运了。你可以改进你的不变量，通过采用更多的颜色和规则并枚举纽结拥有的着色方式的数目，而不是仅仅判断其能否着色。这些改进生成了更强大的不变量，但它们也变得更难计算。
“ 这一突破相当于一种新型望远镜。”
—— Gil Kalai, 耶路撒冷希伯来大学
过去一个世纪里，纽结理论家提出了数百种不变量。利用这些工具，他们得以编目了具有20或更少交叉的全部20多亿个纽结——一项壮举，考虑到既可算又强大的不变量的稀缺。说到识别纽结，“我们在纽结理论这100年里发明的工具并不是特别强大，”Tubbenhauer说道。
这在一定程度上是因为，最强大的纽结不变量往往源自对纽结蕴含的深刻拓扑结构的研究。可是很少有纽结理论家既精通这些理论思想，又熟悉在易计算不变量设计中的计算考量。
Bar-Natan 和van der Veen，这两位既是理论家同时也是娴熟的程序员，算是这一常规中的特例。他们的新不变量源自深刻的拓扑思想，但目前他们主要聚焦在构建一个快速而强大的不变量。以这种方式把可计算性放到首要地位，在纽结理论里算是“全新的概念”，Watson说道。
打结的高速公路
Bar-Natan 获取新不变量的征程开始于二十年前，当时他试图理解丝带纽结——在一条穿过自身的丝带边沿上行进的纽结。这一工作引导他去重新审视了一种极其强大的不变量，所谓Kontsevich积分，而许多其它纽结不变量都置身其中。数学家已经猜想过，这一不变量是如此强大，足以区分所有纽结。
“我只高兴了大概五分钟，”Bar-Natan说道。接着他提醒自己，对于所有现实目标，Kontsevich积分都无法计算。“它作为一个抽象的事物是存在的，可你实际上没法从它身上推导出任何现实纽结的任何信息。”
逐渐复杂的“方形编织”纽结的二维码
Bar-Natan 开始试着使用更加易算的不变量去近似Kontsevich积分，但仍然保留它的一些珍贵信息。存在某种自然的不变量序列，可以捕捉Kontsevich积分越来越多的细节。但没人知道如何以一种高效的方式完整计算这些不变量，除了序列的第一个元素以外。
“ 这一成果非比寻常地美妙，并且难以想象地丰富多样。它看上去仿佛来自另一个世界。”
—— Liam Watson, 英属哥伦比亚大学
在2015年奥胡斯大学的一个讲座中，Bar-Natan分发了描述他的目标的一份讲义。在最底下，用洋红色斜体字，他写道，“请求帮助！”听众席中的Van der Veen回应了这一求助。两人一起着手探索如何从序列的第一个不变量往后推进。
他们先审视这第一个不变量：所谓Alexander多项式，1923年被提出。在纽结的世界里，一个多项式把纽结上的测度转化成数字和变量幂次的组合，例如3x 7 +8。（Alexander多项式还涉及x的负幂次。）在过去的一个世纪里，数学家们想出了数十种不同的方法来计算纽结的Alexander多项式。Bar-Natan和van der Veen 打算推广这些方法中的一种，使其最终得以用汽车交通的语言来表述。
把纽结想象成一条单向高速公路，被你在某个地方剪开了，所以它会有起点和终点。进一步设想在每对交叉点之间都有一个城市。如果一辆汽车从高速路的起点出发，它会驶经每个城市一次，直到从终点离开。
1. 剪开你的纽结高速；2. 在每个交叉处前后放置一个城市；3. 汽车单向行驶，依次驶经这些城市
要构建Alexander多项式，设想在每个交叉处，都有一个从上通道到下通道的升降梯。当一辆汽车到达上通道时，有一定概率——叫它x好了——汽车会进入升降梯，而不是沿着上通道前行。（实际设定要复杂一点，有时会涉及x的倒数。）
这样一来汽车就不一定驶经每座城市恰好一次了。假设你在迈阿密启动100辆车，然后看有多少辆会经过亚特兰大。有些车可能经过亚特兰大一次，但其它的可能经过它多次，或者完全绕开它。经过亚特兰大的期望汽车量可以写成x的一个函数，而这个函数蕴含的信息会体现纽结的结段是如何彼此来回缠绕的。
对于每一对城市，你都可以构造一个交通函数。接着将这些函数简单地组合起来，就生成了Alexander多项式，也就是Kontsevich积分的一级近似。
Bar-Natan 和van der Veen觉得，对于不变量序列中的第二步，或许也可以写下一个类似的公式，只要创造一种包含两种汽车的交通方案，让它们进入升降梯有不同的概率（比如说，x和y）。可是经过了大量尝试，他们还是没法找出一种可行的交通设定。接着有一天，他们从亚原子粒子的数学中获取了灵感。
正如粒子可以结合或分裂成其它粒子，Bar-Natan和van der Veen设想他们的两种汽车有时也会汇集起来，变成第三种车辆——就好像一辆车被另一辆车拖着。这两辆车接着会像一种单一的车辆一样穿过高速。之后，它们可能会再次分裂，走上各自的路径。同样地，你可以计算从迈阿密出发的车辆有多少经过了亚特兰大，不过这回你还必须追踪不同的车辆类型。
拥有300或更多交叉的若干纽结的二维码
Bar-Natan 和van der Veen确信自己撞上了正确的设定，不过他们仍然不清楚如何把所有这些交通函数组合起来，直接生成一个纽结不变量。不过，这一设定倒是能够给他们提供这样一种不变量应该具有的大体“形状”的一种感觉。于是他们求助于一个古老的窍门，直接写下大体形状正确的一个公式，然后调节它的系数，使得哪怕纽结的结段四处移动它也仍然保持不变。
“在某种意义上我们其实是即兴发挥的。”van der Veen说道。
其结果，由变量x和y构成的一个复杂多项式，让其他研究者们绞尽了脑汁。“你在处理这个复杂的体系时使用的是汽车、岔道和概率，而不管你采用哪种纽结的图像，这样得出的结果都是一样的——这是最神奇的，”悉尼大学的Zsuzsanna Dancso 说道，“天知道他们是怎么想到它的。”
纽结之梦
尽管这个多项式看起来有点棘手，电脑却可以轻松地计算它，哪怕对于具有数百个交叉的纽结。并且它很强大：例如，Tubbenhauer计算得出，这一不变量独一无二地识别出了超过97%的交叉数为18的纽结。作为对比，在编目纽结中最广为使用的不变量之一，Jones多项式，仅识别出了约42%，而Alexander多项式仅约11%。
“我觉得这个不变量在可计算性和相对威力上是难以匹敌的。”Watson说道。
把这一多项式的系数画成一种热图，研究者们生成了惊人的图像——针对每个纽结的一种华丽的六边形二维码。二维码不同的两个纽结可确保是不同的。
Bar-Natan 和van der Veen期望，这种二维码除了区分纽结以外，还有许多其它的用途。在他们文章里题为“故事，猜想，以及梦想”的一节中，他们提出该二维码可能有助于阐明纽结的一大批拓扑特征。例如，他们相信，六边形的直径会为纽结复杂性的一种被称为亏格（其在曲面研究中也至关重要）的度量给出下界。如果这被证明为真，Dancso说道，“意味着我们在计算大纽结的亏格上将精进许多。”
Bar-Natan 与van der Veen，还有其他的一些研究者，确信这一新不变量等价于Kontsevich积分的第二级近似。数学家们将其称为双圈多项式，并且已经研究了数十年。在这一点上“我可以拿我的房子做赌注，”最先研究双圈多项式的人之一，北卡罗莱纳大学教堂山分校的Lev Rozansky称。
在传统形式下，双圈多项式难以计算，但其拓扑内容丰富。因此，证明这一等价性立刻能确认Bar-Natan和van der Veen给他们的新不变量赋予的大部分拓扑威力。即便如此，这些作者们仍然希望他们最终能以一种更加简单的方式解释这一新不变量。“一种初等构造理应得到一种简单的解释，”他们写道。
在某种意义上，他们感到自己偶然闯入了一个故事的中间阶段。“我们对故事的开头和结尾都非常不确定，”他们写道。
与此同时，现在没有任何东西阻碍研究者们去尝试创建拥有更多车辆和变量的交通设定，去努力获取存储在Kontsevich积分里的更多信息。“一整座类似成果组成的宝库正等着我们去挖掘呢，”van der Veen说道。
（ 译注：据原论文结尾处所示，此为Pretzel (2,31,-31)结的二维码。 ）
原文链接：
https://www.quantamagazine.org/a-powerful-new-qr-code-untangles-maths-knottiest-knots-20260422/
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