科学网—丘成桐的菲尔兹奖之路
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2026-7-29 15:18
| 系统分类: 科普集锦
撰文 | 刘克峰，徐浩
前言
2026 年，两位中国数学家邓煜和王虹获得菲尔兹奖。这注定是中国数学史上最值得铭记的一年。
把时间拨回到 44 年前，菲尔兹奖不仅是丘成桐先生个人学术生涯的重要里程碑，也是现代数学发展的一个历史坐标。它见证了一位中国数学家以非凡的才能和坚韧的毅力，在几何学的群山间开辟出一条条崭新的道路；而这些道路，也成为后来一代代数学家继续攀登更高峰峦的起点。数十年间，他不遗余力地在研究、教育中传承、在推动中国数学的事业上倾注毕生心血，让这一路增添了历史的使命感，成为一条影响整个时代的几何人生之路。（本文仅列举丘成桐 1982 年获得菲尔兹奖之前的学术成果。）
香港中文大学（ 1966 年－ 1969 年）
1966 年，丘成桐考入香港中文大学数学系。这所大学对他而言有着特殊的意义——他的父亲丘镇英，曾是该校前身崇基书院的哲学教授。
丘成桐对数学的兴趣，始于初二时接触到的平面几何。大二时，刚从美国加州大学伯克利分校数学系毕业的萨拉夫（ Stephen Salaff ）来到香港中文大学任教。他十分欣赏勤奋好学、天资聪颖的丘成桐。两人还合著了一本常微分方程教材，中文版于 2025 年由高等教育出版社出版。
萨拉夫给伯克利的萨拉森（ Donald Sarason ）教授写了一封长达四页的信，称赞丘成桐具备成为杰出数学家的罕见素质。萨拉森很快便回信，让丘成桐直接填写伯克利研究生院的入学表格并寄回，并明确表示，即便他尚未取得大学学士学位，伯克利也愿意破格录取。
1969 年 4 月 1 日 ，丘成桐正式收到伯克利的录取通知。 1969 年夏，陈省身访问香港，丘成桐也由此第一次见到了这位仰慕已久的几何学大师。
萨拉森有一位博士生——沃尔夫（ Thomas Wolff ），证明了 n 维挂谷集的豪斯道夫维数至少为 (n+2)/2 。沃尔夫对挂谷猜想有许多开创性的重要贡献，是连接布尔甘（ Jean Bourgain ）与古斯（ Larry Guth ）之间的关键人物，也是调和分析领域中最具原创性的数学家之一。沃尔夫在哈佛读本科时，与比尔盖茨是牌友。 2000 年，沃尔夫因车祸不幸去世，年仅 46 岁。
加州大学伯克利分校研究生（ 1969 年－ 1971 年）
丘成桐于 1969 年秋来到伯克利。第一年，他在拓扑学家米尔诺（ John Milnor ）的一篇文章中读到了 Preissmann 定理——对负曲率紧致黎曼流形而言，其基本群的任何非平凡阿贝尔子群都是无限循环群。
Preissmann1942 年从苏黎世联邦理工大学博士毕业后，投身水利工程、水电建设领域，对计算流体力学的数值解有重要贡献。
根据 Preissmann 定理，环面以及两个紧致流形的直积，都不可能承载负曲率度量。这个定理属于整体黎曼几何和几何拓扑，它用曲率和基本群之间的关系说明——局部曲率条件能够强烈限制整体拓扑。
丘成桐开始思考，如果将“严格负曲率”这个条件放宽到“非正曲率”，结论会怎样？由于非正曲率紧致黎曼流形的二阶以上同伦群为零，所以它的基本群包含了流形的所有拓扑信息。也就是说，两个非正曲率紧致黎曼流形同胚，当且仅当它们的基本群同构。
丘成桐在非正曲率情形推广了 Preissmann 定理，还解决了 Wolf 猜想——具有可解基本群的非正曲率紧致黎曼流形必是平坦的。他的独作文章发表在顶尖杂志《数学年鉴》上。
他与劳森（ Blaine Lawson ）合作研究了非正曲率紧黎曼流形的基本群及其子群与几何结构的关系，得到了著名的劳森－丘平坦环面定理——若基本群包含秩 k 阿贝尔群，则流形必包含平坦 k 环面。 Lawson-Yau 的工作，以及后来 Schoen-Yau 关于调和映照和刚性的工作，推动了 CAT(0) 几何的诞生，这个命名取三位数学家 Cartan-Alexandrov-Toponogov 的首字母，再缀上曲率上界 0 而成。其将非正曲率黎曼几何从光滑流形推广到了一般度量空间，是 20 世纪后半叶几何学最重要的发展方向之一。
丘成桐还推广和改进了卡拉比（ Eugenio Calabi ），巴斯克斯（ A. Vasquez ）等人关于紧致平坦黎曼流形的重要工作。文章发表在《微分几何杂志》上。
陈省身在 1970 年初写信给香港中文大学，说丘成桐已经作出了一流的工作，将会成为领袖数学家。伯克利的伍鸿熙教授第一次与丘成桐讨论数学，就感受到了他的非凡才能。伍鸿熙在给加州大学洛杉矶分校 Robert Greene 的信中写道：丘成桐将改变整个微分几何学。
在伯克利，丘成桐第一次接触到爱因斯坦场方程与卡拉比猜想。令他着迷的，不仅是它们各自的美，更是两者之间超乎寻常的联系。从那一刻起，他便以几何为舟，以方程为楫，踏上了一条从广义相对论到超弦理论的揭示引力数学本原的漫长求索之路。
普林斯顿高等研究院（ 1971 年－ 1972 年）
丘成桐只用两年时间就从伯克利博士毕业，听从陈省身的建议，到普林斯顿高等研究院访问一年。
库尔卡尼（ Kulkarni ）有一个定理说，若黎曼流形 M 的非迷向点（截面曲率不等于常数的点）稠密，且 M 的维数大于 3 ，则或者 M 是常曲率流形或者 M 到任意黎曼流形的保曲率的微分同胚都是等距。丘成桐给出了这个定理的一个简洁证明，并且构造了 3 维时的反例。独作论文发表在《数学年鉴》上。
丘成桐 写了两篇文章，对常平均曲率子流形作了开创性研究。如同他那时预见的那样，极小曲面和常平均曲率曲面后来成为了研究三维流形、广义相对论和平均曲率流的重要工具。
丘成桐还完成了一篇关于共形变换的论文，证明：若完备黎曼流形 M 的曲率有下界，且数量曲率的上界为负，那么 M 的每个保持数量曲率的共形变换都是等距。
以这篇论文为起点，丘成桐将几何分析方法系统地引入共形几何，并推动其发展成为现代微分几何的重要方向。他与孙理察（ Richard Schoen ）建立的正质量定理为 Schoen 最终解决 Yamabe 问题提供了决定性工具，这是现代共形几何最重要的成果之一；与 Witten 合作建立 AdS/CFT 对应的边界连通性，为更深入理解时空拓扑与量子信息的关系开辟了道路；与顾险峰一起开创了在图像处理中非常实用的计算共形几何。
纽约州立大学石溪分校（ 1972 年－ 1973 年）
丘成桐在石溪大学期间最重要的工作之一，是与 Lawson 合作的关于群作用与数量曲率的关系。他们证明了，若一个紧致流形容许一个紧致、连通、非交换李群的光滑作用，那么这个流形就容许一个正数量曲率的度量。由此还得到怪球面对称度的上界估计。
此外，丘成桐还证明了如下重要定理：如果一个完备黎曼流形上存在非常数的凸函数，那么流形的体积是无穷的。这个定理也解决了伍鸿熙的一个猜想：完备非紧致的非负曲率黎曼流形具有无穷体积。不久，丘成桐又证明“非负曲率”的条件其实可以减弱为“非负 Ricci 曲率”。
丘成桐还得到了非完备曲面的一些整体性质。比如，一个具有有限面积的非正曲率完备曲面，如果在其上挖掉 1 到 3 个点，那么它就不能等距浸入到三维欧氏空间中。
法国数学家 Bourguignon （曾担任 IHES 所长 20 年）在 1973 年到石溪大学访问，与丘成桐合作发表了一篇关于 K3 曲面商空间上 Ricci 平坦度量的文章。
石溪大学是 20 世纪后半叶度量几何的重镇。然而，丘成桐敏锐地认识到，仅依靠传统的比较几何和度量方法，难以解决卡拉比猜想、 Einstein 度量、极小曲面以及广义相对论的一系列深刻问题。为此，他开创性地将分析方法，特别是非线性偏微分方程、变分法、热核估计、极大值原理系统引入微分几何，建立了现代几何分析的基本框架，将几何问题转化为非线性偏微分方程的存在性、正则性与估计问题，从而开辟了一条不同于传统度量几何的新道路。卡拉比猜想的解决、正质量定理、调和映照理论、极小曲面理论以及后来的 Ricci 流、平均曲率流、庞加莱猜想、镜像对称等重大突破，都体现了这一思想的深刻影响。
2008 年 3 月，石溪大学获得校友西蒙斯（ James Simons ）的六千万美元捐赠，建立了西蒙斯几何与物理中心。 2026 年菲尔兹奖得主约翰·帕顿（ John Pardon ）也任教于石溪大学，进一步巩固了其在几何、拓扑和数学物理领域的国际影响力。
可以说， 20 世纪后半叶微分几何的发展，一条主线是以石溪为代表的度量几何和比较几何，另一条主线则是丘成桐开创并领导的几何分析。两条路线相互借鉴、相互促进，共同塑造了现代微分几何的发展格局。
这种融合在新一代几何学家的研究中体现得尤为明显。王虹的博士导师古斯（ Larry Guth ）虽然主要继承了大尺度几何和度量几何传统，但其工作大量采用了极小曲面、变分法和几何测度论等几何分析工具。特别是他关于数量曲率和极小超曲面的研究，深受 Schoen-Yau 工作的影响。可以说，当代最前沿的几何研究已经很难严格区分“度量几何学派”和“几何分析学派”，两种流派经过数十年的交汇融合，共同推动了现代几何的发展，而古斯及王虹的工作正是这种融合趋势的杰出代表。
斯坦福大学（ 1974 年－ 1979 年）
丘成桐在斯坦福大学遇到了两位志同道合的朋友——澳大利亚数学家西蒙（ Leon Simon ）和他的第一个博士生孙理察。
1974 年，丘成桐完成了他的开创性论文“完备黎曼流形上的调和函数”。文中用极大值原理与辅助函数技巧，给出了完备流形上的梯度估计与 Harnack 不等式，并由此证明非负 Ricci 曲率完备黎曼流形上不存在非常数的正调和函数。丘成桐与郑绍远进一步找到了许多几何上的应用。
丘成桐的方法极具创造性。他选择研究调和函数的对数 log(u) ，因为 log(u) 的梯度是尺度不变的量，与函数值的整体缩放无关。他基于极大值原理，对 log(u) 的梯度进行估计。为此他设计了一系列辅助函数，通过代数运算将“坏项”相互抵消，最终得到了一个最优的不等式。为了找到正确的辅助函数形式，他曾尝试过几千个实验函数。
这篇文章是丘成桐将分析方法应用于几何问题的开端，是几何分析诞生的标志。从线性的拉普拉斯方程到非线性偏微分方程，丘成桐及其合作者开创了几何分析的黄金时代。
卡拉比猜想
美籍意大利数学家卡拉比在 1954 年荷兰阿姆斯特丹国际数学家大会上提出了一个猜想：一个紧致凯勒流形 M 上的实的闭 (1,1) 形式，如果它所属上同调类表示第一陈类，则该 (1,1) 形式是 M 的某个凯勒度量的 Ricci 张量形式。
卡拉比猜想也可表述为：第一陈类为零的紧致复流形上， Ricci 平坦凯勒度量与流形的凯勒上同调类一一对应。
卡拉比猜想等价于解紧致凯勒流形上的一个完全非线性的复蒙日－安培（ Monge-Ampere ）方程。 1976 年，新婚不久的丘成桐在访问加州大学洛杉矶分校期间，完成了卡拉比猜想的证明，引起巨大轰动。
卡拉比立刻邀请丘成桐到宾西法尼亚大学访问。 1977 年底 Bourguignon 在布尔巴基讨论班上介绍了丘成桐的工作。 1978 年 3 月到 6 月，巴黎高工数学研究所组织了为期 3 个月的研讨会，讨论丘成桐的证明。
卡拉比猜测的直接推论是，第一陈类为零的紧凯勒流形容许 Ricci 平坦度量。而此前，人们不知道任何 Ricci 平坦但不平坦的紧致流形的例子。丘成桐还证明第一陈类为负的紧凯勒流形上存在凯勒 - 爱因斯坦度量。丘成桐应用卡拉比猜想得到许多重要的代数几何新结果，如 Miyaoka －丘陈数不等式， Severi 猜想（即每个与复射影平面同伦等价的复曲面必双全纯等价于复射影平面），复射影空间上凯勒复结构的唯一性，紧致凯勒流形存在平坦凯勒度量的拓扑刻划（当且仅当第一和第二陈类为零），等等。
卡拉比猜想的应用还有很多—— Todorov 在 1980 年给出 Torelli 定理的简化证明，萧荫堂 1983 年证明 K3 曲面都是凯勒曲面（ Weil 的一个猜想）， Beauville 在 1983 年给出了第一个紧致超凯勒流形（即和乐群包含在辛群 sp(m) 中的 4m 维流形）的例子，等等。
传统上，代数几何主要依赖双有理几何、 Hodge 理论和上同调方法，而丘成桐证明卡拉比猜想之后，典则度量开始成为研究代数几何的重要工具。卡拉比—丘流形更是成为超弦理论的几何基石。
实与复的蒙日－安培方程
蒙日－安培方程是一类非常古老的方程，最早可以追溯到 18 世纪法国数学家蒙日（ Gaspard Monge ）关于土方运输和曲面理论的研究。复的蒙日－安培算子在坐标的复解析变换下保持不变，在凯勒几何中有重要的应用。而实的蒙日－安培算子在仿射变换下保持不变，在仿射微分几何中有重要应用。反过来仿射不变量的几何直观也对实蒙日－安培方程的研究有重要价值。
上面提到卡拉比猜测的证明归结为解一个复的蒙日－安培方程，这促使丘成桐与郑绍远合作对这类方程以及仿射微分几何做了深入研究。 1975 年他们证明卡拉比提出的任意维数的洛伦兹－闵科夫斯基空间中极大类空超曲面的 Beinstein 型定理（即这种超曲面只能是超平面）；以及证明仿射超球面的欧氏完备性可以推出仿射完备性。
1976 年，丘成桐与郑绍远一起到纽约大学库朗数学科学研究所访问。这里是分析和偏微分方程和分析学的世界中心，继承了 Richard Courant, Kurt Friedrichs, Peter Lax 等人开创的分析传统，形成了以非线性偏微分方程、数学物理和应用分析为特色的学术体系。 Louis Nirenberg 更是 20 世纪最杰出的偏微分方程大师之一。
丘成桐与郑绍远在短短的两三个月时间里就写了两篇至今仍然非常有影响力的文章，分别证明实蒙日－安培方程的 Dirichlet 边值问题解的正则性；以及完全解决高维空间的闵科夫斯基问题。这两篇文章也为丘成桐最终解决卡拉比猜想奠定了坚实的基础。
半个世纪之后，王虹在库朗研究所完成了关于三维挂谷猜想的重大突破；邓煜也曾在库朗研究所工作，从事偏微分方程与概率论的研究。从丘成桐、郑绍远，到新一代中国数学家邓煜、王虹，库朗研究所见证了分析、偏微分方程、几何传统的不断传承与发展。
给定 n+1 维欧氏空间 中的闭严格凸超曲面 M ，那么 M 的高斯映射定义了 M 到 n 维单位球面 S^n 的同胚，把 M 的高斯曲率通过高斯映射移到 S^n 上，成为定义在 S^n 上的正函数 K ，德国数学家闵 科夫斯基在 20 世纪初发现， 坐标函数与 K 的商 x_i/K 在 S^n 上的积分都等于零。
闵科夫斯基提出了这个问题的逆命题，即任给一个满足上面积分关系的 n 维单位球面上的正函数 K ，是否存在一个闭的严格凸超曲面，使得它的曲率函数由 K 给出？
70 多年来 ， Lewy, Nirenberg, Pogorelov 等许多著名数学家研究过闵科夫斯基问题 ， 只解决了二维情形。丘成桐与郑绍远解决高维闵可夫斯基问题，是现代几何分析的重要里程碑，极大推动了非线性偏微分方程、凸几何、仿射微分几何和最优运输理论的发展，影响一直延续至今。
丘成桐还与郑绍远、莫毅明合作，应用复蒙日－安培方程的极大值原理，证明一个有界域是全纯域当且仅当其上存在完备的负 Ricci 曲率凯勒－爱因斯坦度量。他们的工作，后来被推广到带锥奇点、对数奇点等奇性凯勒—爱因斯坦度量的研究中，并成为 Yau-Tian-Donaldson 理论的重要基础。
正质量猜想
1973 年夏天美国数学会在斯坦福大学举办的微分几何学会议上，物理学家杰勒西（ Robert Geroch ）向数学家介绍了广义相对论中的正质量猜想：对广义相对论中的一个非平凡的孤立物理系统，它的来自于物质与引力的总质量是否一定是正的？
换成严格的数学问题就是：对于渐近平坦且数量曲率非负的黎曼流形，其 ADM 质量必定非负。并且只有欧氏空间的 ADM 质量为零。
正质量猜想与具有正数量曲率度量的流形密切相关。 20 世纪 70 年代， Kazdan 和 Warner 系统研究了流形上哪些函数能够作为数量曲率，由此引发了一系列关于正数量曲率度量存在性的基本问题。
1977 年，丘成桐到加州大学伯克利分校访问，刚从斯坦福大学获得博士学位不久的孙理察也来到伯克利，两人开始密切合作。他们首先研究了三维流形上的正数量曲率问题，证明：如果一个可定向紧致三维流形的基本群包含一个子群，满足下列条件之一：（ 1 ）是有限生成、非循环交换群；（ 2 ）同构于一个亏格大于 1 的闭曲面的基本群；那么该流形上不存在非平坦的非负数量曲率度量。作为推论，他们证明了三维环面上的任何非负数量曲率度量都必定是平坦的，从而解决了 Kazdan 和 Warner 提出的一个重要问题。
在此基础上，丘成桐和 Schoen 进一步将几何测度论与极小曲面理论相结合，深入分析渐近平坦流形中的完备极小曲面，最终证明了正质量猜想，这是几何分析与数学物理结合的里程碑之作。
一个有趣的推论是：若三维欧氏空间中具有非负数量曲率的黎曼度量在一个紧集以外是平坦的，那么这个度量必是平坦度量。这个结论说明，宇宙无法暗藏能量，它激起的涟漪总能在远处被探测到。
他们还证明，对正数量曲率流形做余维数至少为 3 的拓扑手术，得到的流形仍然具有正数量曲率度量。这样，正数量曲率流形的分类就被简化为拓扑问题。
他们的工作得到了著名数学家 Gromov （沃尔夫奖和阿贝尔奖得主）和 Lawson 的高度评价：“丘成桐和 Schoen 的一个重大突破是发现了曲面的第二变分公式可以写成一种非常有用的形式，现在已经成为沟通几何测度论与黎曼几何的关键纽带，这种联系直接导致了极小超曲面、数量曲率与狄拉克算子理论中迸发出无数迷人的思想。”
极小曲面与三维拓扑
丘成桐 1976 年在加州大学洛杉矶分校遇到刚博士毕业不久的老朋友 Meeks ，他是 Lawson 的学生，也是丘成桐在伯克利读研究生时的同学。
极小曲面理论中的普拉托（ Plateau ）问题是说：对于三维欧氏空间中的一条可求长约当（ Jordan ）曲线，以这条曲线为边界的所有曲面中，可以找到一个面积最小的曲面。这个定理被 Douglas （ 1936 年菲尔兹奖得主）在 20 世纪 30 年代初证明，是他获得菲尔兹奖的主要工作。 Osserman 在 1968 年证明了这样的曲面处处是浸入的，并且猜测，当约当曲线是极值的（即落在它的闭包的边界上），那么极小曲面是嵌入（ 即没有自交点 ）。丘成桐与 Meeks 合作， 在 1977 年 用三维流形拓扑方法证明了 Osserman 的猜想。
1948 年 Morrey 解决了一般黎曼流形上曲线的普拉托问题，同样也有推广的 Osserman 猜想，也被丘成桐与 Meeks 所证明。
反过来，他们利用极小曲面理论中从浸入推导嵌入的技巧，推广了三维拓扑学中经典的 Dehn 引理、环路定理和球面定理。特别是证明了等变环路定理，成为史密斯猜想证明的重要组成部分。
史密斯猜想是美国哥伦比亚大学的 Paul Smith 在 20 世纪 40 年代提出的著名猜想：若一个有限阶、保持定向的周期微分同胚作用于三维球面，其不动点集是一条扭结，则这条结必定是平凡结（ unknot ）。
此后许多几何拓扑学家研究过这个问题，都无能为力，直到 Thurston 七十年代在三维流形拓扑的革命性工作，才出现转机。
1978 年在美国哥伦比亚大学， Thurston 与 Bass, Gordon 讨论以后，勾画了一个证明史密斯猜想的途径，唯独缺一个等变形式的环路定理。到 1978 年秋， Gordon 获知了丘成桐与 Meeks 的等变环路定理，终于完成了史密斯猜想证明的最后关键一步。
完整的证明被整理成一本两百多页的文集，丘成桐与 Meeks 贡献了两篇文章。 1979 年在哥伦比亚大学举办了庆祝史密斯猜想解决的大会，史密斯本人在全程听完技术性极强的报告后，风趣地说：“下次我会试着提一个简单点的猜想。”
Frankel 猜想与高维空间单值化
一维复流形（即黎曼曲面）的万有覆盖空间是熟知的单位球面、复平面与单位圆盘。丘成桐 1974 年在马萨诸塞州的 Williamstown 多复变会议上，提出了高维复流形的单值化纲领。这一纲领对三十年来的复几何发展起了巨大的推动作用。
丘成桐自己对这个纲领也作出了许多非常重要的贡献，他与萧荫堂合作证明著名的 Frankel 猜想就是其中之一。
Frankel 在 1961 年的文章中猜测：每个双截曲率为正的紧致凯勒流形与复射影空间双全纯同构。 Frankel 自己证明了二维的情形，后来 Mabuchi 给出了三维情形的证明。 1978 年，丘成桐与萧荫堂合作，用调和映照理论漂亮地完全解决了 Frankel 猜想。
这个猜想也几乎同时被日本数学家 Mori （ 1990 年菲尔兹奖得主）用代数几何方法证明，是 Mori 获得菲尔兹奖的主要工作之一。
丘成桐还与萧荫堂应用 L^2 估计解决了 Greene 与伍鸿熙提出的一个重要猜想：如果 M 是单连通完备 n 维凯勒流形，并且满足条件 0>= 截曲率 >= -A/r^{2+s} ，其中 A 与 s 都是正数， r 表示到 M 上一个固定点的距离，那么 M 与欧氏复空间双全纯同构。后来丘成桐与莫毅明、萧荫堂又合作把结论加强为“与欧氏复空间双全纯等距”。
丘成桐提出的单值化纲领中，至今仍有许多重要问题尚未解决。其中最著名的猜想之一断言：任何完备、非紧且具有正全纯双截曲率的凯勒流形，都应当与欧氏复空间双全纯同构。这一猜想试图从曲率条件刻画非紧凯勒流形的整体复结构，是复几何中最重要的公开问题之一。
丘成桐关于复几何和模空间几何的奠基性工作，推动了超越代数几何的发展。特别是他的广义 Schwarz 引理、典则度量理论，使得曲率成为研究超越代数几何的核心工具之一。此后，莫毅明进一步发展了 Hermitian 对称空间和模空间的几何理论，并最终与齐默曼（ Tsimerman ）、皮拉（ Pila ）合作证明了志村簇的 Ax-Schanuel 定理等超越代数几何与算术几何的核心难题。
在斯坦福大学期间，丘成桐还与 Schoen 系统研究了调和映照（即能量达到临界值的映射），证明了非正曲率目标流形上的调和映照存在定理，建立了著名的 Schoen-Yau 唯一性定理和刚性结果，将调和映照广泛应用于微分几何、复几何和拓扑学。特别是，为 Mostow 刚性定理的推广、 Hermitian 流形和局部对称空间的研究开辟了新的道路。调和映照理论与极小曲面、蒙日－安培方程一道，构成了丘成桐几何分析方法的三大支柱。
国际出版社在 1997 年出版了丘成桐与 Schoen 的专著《调和映照讲义》，其中概括了他们 70 年代在调和映照方面的工作，还包含了后来丘成桐与 Jost 在 90 年代应用调和映照研究离散子群超刚性的著名工作。
调和映照不仅是微分几何中的核心课题，而且在物理学中具有广泛应用，如杨－米尔斯规范场理论、材料科学中的液晶理论以及超流、超导等现象的数学模型。因此，调和映照理论已发展成为现代数学与理论物理交叉领域最活跃的研究方向之一。
丘成桐，孙理察和 Leon Simon 合作，证明：若 M 是维数不超过 6 的稳定极小超曲面，则其第二基本形式满足局部先验估计，从而曲率由局部几何量控制。这篇发表在顶尖期刊《数学学报》上的论文，为后来应用极小曲面研究数量曲率和广义相对论奠定了技术基础。
丘成桐 1977 － 1978 年度担任伯克利分校访问教授期间，与陈省身的博士生李伟光合作从事特征值的研究，他们在 1979 年向美国数学会举办的“拉普拉斯算子几何学”会议递交的论文中，给出了紧致黎曼流形的第一特征值以及高阶特征值的上下界估计。丘成桐后来与郑绍远、李伟光、 Cheeger 等合作对拉普拉斯算子和薛定鄂算子特征值问题，以及相关的等周不等式与热核估计作出了重要贡献。
特别是，丘成桐与李伟光在 1986 年发表的文章《关于薛定鄂算子的抛物核》中，通过推导薛定鄂方程解的梯度估计，得到 Harnack 不等式，成为汉密尔顿和佩雷尔曼应用 Ricci 流证明庞加莱猜想的关键工具。
1975 年，丘成桐证明了凯勒流形上的广义 Schwarz 定理。这一定理把曲率条件与全纯映射的几何性质紧密联系起来，后来成为研究模空间几何的重要工具，在 Teichmuller 空间、 Calabi-Yau 模空间以及 Hodge 理论中的周期映射等问题中得到广泛应用，对复几何与代数几何的发展产生了深远影响。
1978 年夏，年仅 29 岁的丘成桐被邀请在芬兰赫尔辛基国际数学家大会上作一小时报告，题目是“微分方程在微分几何中的作用”。
1979 年，丘成桐荣获加利福尼亚州杰出科学家奖，这个奖每年颁发给 1 到 2 位取得突出成就的加州科学家，历届的获奖者中包括了十多位诺贝尔物理、化学与医学奖得主。
普林斯顿高等研究院（ 1979 年－ 1984 年）
1979 年，丘成桐被聘为普林斯顿高等研究院教授， 1979 － 1980 年度是普林斯顿高等研究所的微分几何年，举办了许多研讨会，特别是有关偏微分方程在几何中的应用。许多这一领域世界顶尖的数学家都来了。在几何年快要结束的时候，丘成桐被邀请作一个几何中未解决的问题的综述报告。这个报告给出了 120 个有待解决的几何难题，其中有许多是丘成桐自己提出的猜想，并加入了深刻的洞察。这个问题集发表在丘成桐编辑的几何年文集《微分几何研讨》一书中，由普林斯顿出版社在 1982 年出版。 1990 年，丘成桐在加州大学洛杉矶分校的微分几何大会上，把问题集更新后，精简成 100 个问题，发表在大会文集中。这个问题集对过去四十多年微分几何学的发展产生了巨大的影响。
1969 年， Gromoll 和 Meyer 证明了正截面曲率情形下的著名刚性定理：任何具有严格正截面曲率的完备非紧黎曼流形，都微分同胚于欧氏空间。后来 Cheeger 和 Gromoll 的灵魂定理进一步揭示了这一结果背后的整体几何结构。
然而，将截面曲率减弱为 Ricci 曲率以后，情形便复杂得多。在高维，正 Ricci 曲率并不能决定流形的拓扑；事实上，已有许多拓扑复杂、甚至具有无限拓扑型的完备非紧正 Ricci 曲率流形。因此，不存在与 Gromoll-Meyer 定理完全平行的高维结论。
三维情形却表现出特殊的刚性。 1982 年，丘成桐和 Schoen 证明：任何具有严格正 Ricci 曲率的完备非紧三维黎曼流形，都微分同胚于欧氏空间。
紧化的思想在拓扑学（比如空间的单点紧化）和对称空间理论等许多领域都至关重要。丘成桐与萧荫堂合作，研究体积有限且 Ricci 曲率有下界的完备凯勒流形的紧化问题，推广了 Borel 等人关于紧化有界对称域商空间的工作。
1982 年丘成桐与 Meeks, Simon 合作发表了一篇重要的文章，解决三维流形理论中的著名难题：证明不可约定向三维流形的覆盖空间也是不可约的。他们还得到三维流形中嵌入极小曲面的一些有趣的结果，并对非负 Ricci 曲率紧致三维流形进行了分类。
丘成桐与 Jurgen Jost 在 1983 年发表的文章中用调和映照研究凯勒流形，特别是证明了 Kodaira （小平邦彦）曲面的形变仍然是 Kodaira 曲面。此后十多年中，他们合作开创了应用调和映照于代数簇，非正曲率流形和离散子群等的刚性问题的研究方向，取得了许多重要的成果，推广了 Margulis （ 1978 年菲尔兹奖得主）的超刚性定理。
英国数学家 Willmore 在 1971 年提出了著名的 Willmore 猜想：若 M 是环面在三维欧氏空间中的浸入，那么成立，平均曲率的平方在 M 上的积分不小于 2π^2 。
1982 年，丘成桐与李伟光通过引入一种新的共形不变量——共形体积，证明当曲面与平坦环面共形等价时， Willmore 猜想成立。这一工作开创了从共形几何研究 Willmore 泛函的新方法，为后来这一猜想的最终解决奠定了重要基础。直到 2012 年，才由 Marques 和 Neves 给出 Willmore 猜想的完整证明。他们证明的出发点正是丘成桐和李伟光建立的共形体积理论，接着应用并发展 Almgren-Pitts 极小极大理论，最终攻克了这一困扰几何学界 40 多年的难题。
1981 年，丘成桐获得美国数学会颁发的 Veblen 奖，这是公认的国际微分几何领域的最高奖。同年，丘成桐还荣获美国科学院 Carty 奖，每两年只颁发给一位在自然科学领域取得杰出成就的科学家。
1982 年，丘成桐当选美国艺术与科学院院士。同年，丘成桐荣获有“数学诺贝尔奖”之称的菲尔兹奖，同时获奖的还有普林斯顿高等研究院的 Thurston 与法国数学家 Alan Connes 。
1983 年，当丘成桐 站上推迟一年举办的波兰华沙国际数学家大会的领奖台，他是否会想起——20年前走在乡间小路上的求学少年；1969年香港赴美航班上那个兜里不足一百美元的20岁年轻人；1970年伯克利图书馆初次邂逅卡拉比猜想的激动；1974年推导梯度估计试验几千个函数的艰辛；1976年洛杉矶证明卡拉比猜想的欣喜；1978年漫步伯克利校园时萌生正质量猜想的关键想法……但毫无疑问的是，他一定自豪于自己的中国数学家身份，一定会回忆起1979年第一次回国的情景——北京首都机场，他走下飞机后的一个细微举动，已经胜过千言万语。
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